Savarankiškai įsigijo vidurinį
išsilavinimą. Studijavo Telšių ir Kauno seminarijose. Tverų bažnyčios vikaras
1948 - 1950 metų. 1950 įšventintas kunigu. Dirbo vikaru Veiviržėnuose, Telšiuose, Klaipėdoje. Čia kunigas B. Burneikis
patyrė nemalonius išgyvenimus, šmeižtą. Sovietų laikų partokratai, leidę
Klaipėdoje statyti naują bažnyčią, tikėjosi, kad to niekam nepasiseks padaryti.
O būsimasis arkivyskupas L. Pavilionis ir B. Burneikis bažnyčią pastatė. Pasitelkę
apgaulę, melagingus būdus, valdiškieji ateistai neteisingai apkaltino kunigus,
sukurpė bylą. 1961 m. B. Burneikis buvo areštuotas ir nuteistas 4 metus kalėti.
Lageryje verstas atsižadėti tikėjimo, melagingai liudyti mainais už laisvę.
Tačiau, atmetęs tuos pasiūlymus, išbuvo visą paskirtą tremties laiką. Iškalėjęs
visus 4 metus B.Burneikis buvo ištremtas iš Telšių vyskupijos, vikaravo
Kaišiadorių vyskupijoje, Žaslių parapijoje ir tik po kelerių
metų sovietų valdžia vėl leido dirbti Telšių vyskupijoje. Tirkšliuose B.Burneikis
pastatė kleboniją, Kretingoje modernų bažnyčios bokštą, nuliedino varpus.
1988 m. pavasarį
B. Burneikis Telšių vyskupo buvo paskirtas dar nesugrąžintos tikintiesiems
Klaipėdos Marijos Taikos Karalienės bažnyčios klebonu ir dekanu. Iš Kretingos
kiekvieną dieną kunigas važinėjo į Klaipėdą klebonijos remonto, medžiagų kaupimo
Marijos Taikos Karalienės bažnyčiai remontuoti reikalais.1988 m. rudenį, sugrąžinus
Marijos Taikos Karalienės bažnyčią tikintiesiems, klebonas suorganizavo didžiulę
klaipėdiečių talką ir per vieną dieną paruošė ją taip, kad kitą dieną atvykęs
Telšių vyskupas Antanas Vaičius, galėjo bažnyčią pašventinti ir koncelebruoti
šv. Mišias. Šioje bažnyčioje B. Burneikis atstatė
nugriautus bokštus, atkūrė bažnytinį vidaus interjerą. Altoriaus fone buvo
nutapyta įspūdinga Marijos Taikos Karalienės freska Tėvynės, ką tik išsprūdusios
iš sovietų priespaudos, laisvės simbolis. Kunigas B. Burneikis turėjo nuveikti
daugybę darbų, patirti daug rūpesčių ir vargo, kol sovietmečiu buvusi filharmonija
vėl tapo bažnyčia su aukštu, vario dengtu bokštu, su gražia freska, spalvotais
vitražais, ąžuoliniais suolais, naujais Kryžiaus kelio paveikslais. Klaipėda
dėkinga monsinjorui Bronislovui už JAV surastus mecenatus, kurie bažnyčiai
padovanojo vargonus, kainavusius daugiau kaip 65000 JAV dolerių.
Nepaisydamas
savo sveikatos, aibės darbų statybose, klebonas kasdien aukojo šv. Mišias, sakė pamokslus, lankė ligonius.
Jau sirgdamas
prelatas rūpinosi kitos Šv. Juozapo Darbininko bažnyčios projektu ir statyba.
Jis suspėjo pakloti jos pamatus.
1960 metais
jis aukojo paskutiniąsias šv. Mišias uždaromoje
Nidos bažnyčioje.
Kun. B. Burneikio
palaikai ilsisi Klaipėdos Marijos Taikos Karalienės bažnyčios šventoriuje.